Что проверяет задание

Исполнитель рисует на клетчатой плоскости: идёт вперёд, поворачивает, иногда поднимает и опускает хвост. Нужно понять, какая фигура получится, и посчитать клетки, точки или узлы по заданному правилу.

Определения

Исполнитель «Черепаха», чертёжник с положением и направлением. Он помнит координаты и куда смотрит.

Хвост опущен, движение оставляет след. Хвост поднят, перемещение без линии.

Клетчатая плоскость, плоскость, размеченная на квадраты со стороной 1. У клеток есть внутренность, стороны и узлы (точки пересечения линий сетки).

Узел, точка с целыми координатами, если шаг исполнителя согласован с сеткой.

Заливка, область, ограниченная следом. Вопрос может требовать клетки внутри контура, клетки контура или то и другое.

Самопересечение, след проходит по уже нарисованному участку. Тогда «внутри» нужно определять по фактической границе, а не по ожидаемому многоугольнику.

Поворот, смена направления. Поворот на 90° на клетчатой сетке меняет ось движения на перпендикулярную.

Цикл повторений, один и тот же набор команд выполняется несколько раз. Фигура при этом часто становится правильным многоугольником или «звездой».

Что именно считают

Формулировки различаются, и путать их нельзя:

• клетки, полностью лежащие внутри фигуры;
• клетки, через которые прошла линия;
• узлы, лежащие строго внутри;
• узлы на границе;
• клетки, которые исполнитель посетил при опущенном хвосте.

«Внутри» для самопересекающейся ломаной неоднозначно, пока не зафиксировано правило обхода. На экзамене обычно имеют в виду область, которую ограничивает замкнутый контур после всех команд.

Общий алгоритм решения

1. Выписать начальную точку и начальное направление.
2. Пройти программу шаг за шагом, отмечая только те перемещения, где хвост опущен.
3. Получить геометрическую фигуру: отрезки, многоугольник, набор квадратов.
4. Уточнить по условию, что считается ответом: внутренность, граница, узлы или клетки следа.
5. Для регулярной фигуры (квадрат, прямоугольник, правильный многоугольник на сетке) посчитать по формуле площади и границы.
6. Для составной фигуры разбить на прямоугольники и прямоугольные треугольники, не забывая вычесть перекрытия.

Программа построчно

Задание 6 удобнее всего решать так: нарисовать фигуру программой на Python точно так же, как её рисует Черепаха, наложить на рисунок сетку точек с целыми координатами и посчитать нужные точки. В Python для этого есть модуль turtle - та же черепаха, только на экране компьютера.

Разберём программу на алгоритме:

Повтори 2 [Вперёд 7 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90] Поднять хвост Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 5 Налево 90 Опустить хвост Повтори 2 [Вперёд 6 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90]

from turtle import *

k = 25
tracer(0)
ht()
seth(90)

for _ in range(2):
    fd(7 * k)
    rt(90)
    fd(7 * k)
    rt(90)
up()
fd(4 * k)
rt(90)
fd(5 * k)
lt(90)
down()
for _ in range(2):
    fd(6 * k)
    rt(90)
    fd(7 * k)
    rt(90)

up()
for x in range(-1, 14):
    for y in range(-1, 12):
        goto(x * k, y * k)
        dot(4, 'red')

done()

Программа состоит из трёх частей: начало (настройка черепахи), алгоритм из условия (каждая команда - своя строка) и сетка точек.

Начало программы

from turtle import * - подключаем модуль turtle целиком. Звёздочка значит «взять все команды модуля», поэтому дальше можно писать просто fd(…), а не turtle.fd(…).

tracer(0) - выключает анимацию: черепаха рисует всё мгновенно. Без этой строки большой рисунок может строиться минуту.

ht() - сокращение от hide turtle: прячет значок черепахи, чтобы он не закрывал точки.

seth(90) - сокращение от set heading: повернуть голову черепахи в направлении 90°. В Python-черепахе направление 0° - вправо (вдоль оси x), 90° - вверх. В задании 6 Черепаха в начале смотрит «вдоль положительного направления оси ординат», то есть вверх - поэтому seth(90). Если эту строку забыть, весь рисунок повернётся на 90° - количество точек останется тем же, но рисунок будет не похож на задуманный, и легко запутаться.

Масштаб k

k = 25 - масштаб: сколько пикселей экрана приходится на одну единицу Черепахи. Шаг «Вперёд 7» - это 7 единиц, а 7 пикселей на экране - крошечная чёрточка, на которой не разглядеть точки. Поэтому каждую длину умножаем на k: fd(7 * k) - это 7 · 25 = 175 пикселей.

Как выбирать k: чем больше фигура, тем меньше масштаб, чтобы рисунок поместился в окно. Для фигур размером до 10-12 единиц подходит 30-40, для фигур в 30-40 единиц - 8-15. Важно, чтобы все длины и сетка умножались на одно и то же k.

Команды черепахи в Python

Каждая команда из условия переводится в одну строку:

• Вперёд n → fd(n * k) (forward) - пройти n единиц в ту сторону, куда смотрит голова. Если хвост опущен, остаётся линия.
• Назад n → bk(n * k) (back) - пройти n единиц спиной вперёд: голова не поворачивается, черепаха просто пятится.
• Направо m → rt(m) (right) - повернуть голову на m градусов по часовой стрелке. Угол на k не умножаем - это не длина.
• Налево m → lt(m) (left) - повернуть голову на m градусов против часовой стрелки.

Частая ошибка - перепутать rt и lt: фигура получится зеркальной, и при двух фигурах они могут перестать пересекаться.

Повтори k - цикл for

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 …] - это цикл:

for _ in range(2):
    fd(7 * k)
    rt(90)
    fd(7 * k)
    rt(90)

• range(2) выдаёт числа 0 и 1 - ровно 2 повторения. Число в скобках range - это k из «Повтори k».
• _ - имя переменной цикла. Номер повторения нам не нужен, поэтому вместо имени ставим подчёркивание - так принято в Python.
• Команды из квадратных скобок пишутся с отступом (4 пробела) под строкой for - так Python понимает, что они повторяются. Команды после «]» пишутся снова без отступа: они выполняются один раз, после цикла.

Повтори 2 [Вперёд 7 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90] рисует прямоугольник 7 × 7: за один проход - две стороны, за два прохода - все четыре.

Поднять и опустить хвост

• Поднять хвост → up() - дальше черепаха двигается без следа. Так она переходит к началу второй фигуры, не рисуя лишнюю линию.
• Опустить хвост → down() - снова рисует.

Пока хвост поднят, команды fd, bk, rt, lt работают как обычно: черепаха меняет положение и направление, просто не оставляет линию. Поэтому переход между фигурами нужно повторить полностью, со всеми поворотами - от него зависит, где окажется вторая фигура.

Сетка точек

up()
for x in range(-1, 14):
    for y in range(-1, 12):
        goto(x * k, y * k)
        dot(4, 'red')

• up() - поднимаем хвост, чтобы при переходах от точки к точке не рисовались линии.
• Два вложенных цикла перебирают все пары целых координат: для каждого x - все y. range(-1, 14) даёт x от −1 до 13 (правая граница не входит).
• goto(x * k, y * k) - перенести черепаху в точку с координатами (x; y). Координаты умножаем на тот же масштаб k, что и длины, иначе точки не совпадут с рисунком.
• dot(4, 'red') - поставить красную точку диаметром 4 пикселя.

Границы range берут по габаритам фигуры с запасом в одну клетку: самая левая и самая правая координата рисунка, самая нижняя и самая верхняя. Если фигура уходит в отрицательные координаты (например, после команды «Назад»), сетка тоже должна туда заходить.

done() - последняя строка: оставляет окно с рисунком открытым, пока его не закроют. Без неё окно закроется сразу после рисования.

Как считать точки

Запускаем программу и считаем красные точки по правилу из вопроса. Формулировки нужно читать очень внимательно:

• «строго внутри», «точки на линии учитывать не следует» - считаем только точки внутри фигуры; точки, через которые проходит линия, не считаем;
• «включая точки на линиях» - считаем и внутренние точки, и точки на линии;
• «на линии» - считаем только точки, через которые проходит линия; если линия проходит через точку дважды, её всё равно считаем один раз;
• «хотя бы одной из фигур» (объединение) - точка подходит, если она внутри любой из фигур; точку в общей части считаем один раз;
• «каждой из фигур» (пересечение) - точка подходит, только если она внутри обеих фигур;
• «ровно одной из фигур» - точка подходит, если она внутри одной фигуры, но не внутри другой.

Точку, которая лежит точно на линии, на рисунке видно: красная точка стоит на чёрной линии. Считать удобно построчно - по горизонтальным рядам точек снизу вверх.

Пересечение и объединение прямоугольников

Если обе фигуры - прямоугольники со сторонами вдоль осей, точки можно посчитать без рисунка.

Сколько точек в одном прямоугольнике. Пусть прямоугольник идёт от x₁ до x₂ и от y₁ до y₂, ширина w = x₂ − x₁, высота h = y₂ − y₁.

• С границей: подходят все x от x₁ до x₂ включительно - их w + 1 штука, и все y - их h + 1. Всего (w + 1) · (h + 1). Прямоугольник 7 × 7 содержит 8 · 8 = 64 точки.
• Строго внутри: x строго между x₁ и x₂ - их w − 1, y - h − 1. Всего (w − 1) · (h − 1).

Пересечение двух прямоугольников - тоже прямоугольник (если они пересекаются): от большего из левых краёв до меньшего из правых, от большего из нижних до меньшего из верхних. Его точки считаем той же формулой.

Объединение: точки₁ + точки₂ − точки_пересечения. Общие точки попали и в первое, и во второе слагаемое - то есть посчитаны дважды, поэтому один раз их вычитаем.

Ровно одна фигура: точки₁ + точки₂ − 2 · точки_пересечения - общие точки не подходят вовсе, поэтому вычитаем их из обоих слагаемых.

Пример: прямоугольники 7 × 7 (64 точки с границей) и 7 × 6 (56 точек), их пересечение содержит 12 точек. Объединение: 64 + 56 − 12 = 108.

Площадь фигуры

Площадь - это число единичных клеток внутри фигуры.

• Прямоугольник a × b: площадь a · b. Прямоугольник 11 × 10 - это 10 полос по 11 клеток, всего 110.
• Ступенчатая фигура (все стороны вдоль осей): разбиваем на прямоугольники и складываем их площади. На рисунке с сеткой удобно считать клетки построчно.
• Правильный многоугольник или фигура с наклонными сторонами: складываем площади треугольников или считаем по координатам вершин (формула площади Гаусса). Если в ответе просят целую часть площади, дробную часть отбрасываем, а не округляем: 64,95 → 64.

Подсчёт точек без рисунка

Для простых фигур, заданных неравенствами (квадрат 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5), рисовать ничего не нужно - достаточно перебрать все целые точки:

count = 0
for x in range(0, 6):
    for y in range(0, 6):
        count += 1
print(count)

• count = 0 - счётчик подходящих точек.
• Вложенные циклы перебирают все x от 0 до 5 и все y от 0 до 5. Правая граница range на единицу больше, потому что она не входит, а 5 входит («включая границу»).
• count += 1 - каждая пара (x; y) лежит в квадрате, поэтому счётчик увеличиваем для каждой. Если бы граница не входила, перебирали бы range(1, 5).

Для фигуры с наклонными сторонами в цикл добавляют условие if с уравнениями сторон: точка подходит, если лежит по нужную сторону от каждой стороны фигуры. Для треугольника со стороной 10 «строго внутри»: if x / 3 ** 0.5 < y < -x / 3 ** 0.5 + 10: - строгие знаки < отсекают точки на сторонах.

Автоподсчёт

Точки можно посчитать и программой, не глядя на рисунок: залить фигуру цветом и проверить цвет холста в каждой целой точке.

from turtle import *

k = 50
speed(0)
ht()
fillcolor("red")
seth(90)

begin_fill()
for i in range(3):
    fd(10 * k)
    rt(120)
end_fill()

sc = getcanvas()
count = 0
for x in range(1, 10):
    for y in range(1, 10):
        items = sc.find_overlapping(x * k, -y * k, x * k, -y * k)
        if items and sc.itemcget(items[-1], "fill") == "red":
            count += 1
print(count)
done()

• fillcolor("red") - каким цветом заливать.
• begin_fill() … end_fill() - всё, что черепаха нарисует между этими командами, будет залито. Заливается один замкнутый контур, поэтому повторов должно быть ровно столько, сколько нужно для одного обхода: для треугольника 3, а не 7, как бывает в условии.
• sc = getcanvas() - холст, на котором нарисована фигура.
• sc.find_overlapping(x1, y1, x2, y2) - все нарисованные объекты в прямоугольнике холста; у нас это одна точка. У холста ось y направлена вниз, поэтому точке (x; y) соответствует пиксель (x · k; −y · k).
• sc.itemcget(items[-1], "fill") - цвет заливки верхнего объекта в этой точке. Если он красный - точка внутри фигуры.
• range(1, 10) - перебираем точки строго внутри треугольника со стороной 10.

Автоподсчёт не всегда точен для точек прямо на линии, поэтому результат полезно сверить с рисунком.