На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD.$ Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E.$
Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK.$

а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK.$

б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF,$ если $BD:DC=5:2.$

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $A{A}_1,$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $B{B}_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $A{A}_1$ в точке $K.$

а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_{1}H.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1}HK$ и $ABC,$ если $AB=\mathrm{6,}$ $BC=\mathrm{4,}$ $AC=5.$

Дана трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$. Диагональ ${\displaystyle BD}$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle CD}$.

а) Докажите, что луч ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ биссектриса угла ${\displaystyle BAD}$.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если известны диагонали трапеции: ${\displaystyle AC=15}$ и ${\displaystyle BD=\mathrm{8,5}}$.

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $AB=17$ и $AC=16.$

В равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в три раза больше основания ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что высота ${\displaystyle CH}$ трапеции разбивает основание ${\displaystyle AD}$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины ${\displaystyle C}$ до середины диагонали ${\displaystyle BD}$, если ${\displaystyle AD=15}$ и ${\displaystyle AC=2\sqrt{61}}$.

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает продолжение стороны ${\displaystyle AD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle E}$ и пересекает продолжение стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle BK=BE}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle KE:AC}$, если ${\displaystyle \angle BAD=30°}$.