В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $—$ центр основания пирамиды, точка $M$ $—$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:\mathrm{1,}$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$

б)

Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD.$ На рёбрах $A_1{B}_1,$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1}K:K{C}_1=1:2.$ Четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

а) Докажите, что точка $N$ $—$ середина ребра $BC.$

б) Найдите площадь трапеции $AMKN,$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 9. Точка лежит на ребре , , а точка лежит на ребре . Известно, что .

а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .

б) Найдите площадь треугольника .

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ через середину $M$ диагонали $A{C}_1$ проведена плоскость $\text{α}$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=\mathrm{5,}$ $BC=\mathrm{3,}$ $A{A}_1=4.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ содержит точку $D_1.$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\text{α}$ делит ребро $A_1{B}_1.$

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha ,$ если известно, что $BK=\mathrm{1,}$ $KC=3.$